Adventskalender 2012: 6. Türchen

Einen fröhlichen Nikolaustag euch allen! Hoffentlich waren heute viele schöne Dinge in euren Stiefelchen 🙂

Und heute – quasi zur Feier des Tages – kriegt ihr auch wieder eine neue Aufgabe von mir. Diesmal ist sie auch nicht so schwer wie gestern. Ich gebe zu, dass das ein wenig gemein war ^^

Und hier kommt die Aufgabe: 

Treffen sich zwei Schäfer an einer Kreuzung. Meint Schäfer A zu Schäfer B: „Gib mir eines deiner Schafe ab, dann haben wir beide gleich viele Schafe.“ Darauf entgegnet Schäfer B: „Nee, gib lieber du mir eines von deinen Schafen, dann habe ich nämlich genau doppelt so viele wie du!“ Wie viele Schafe hat nun Schäfer A, wie viele B?

Frohes Rechnen. Die Lösung gibt’s wie immer morgen 🙂

***

Hier die Lösung von gestern: 

Aufgabe war es, genau 100 Tiere für genau 100 Taler zu kaufen. Dabei sollte es mindestens 1 Küken (Variable x), mindestens 1 Hase (Variable y) und mindestens 1 Schaf (Variable z) geben.

Jedes Küken kostet 0,5 Taler. Formal müsste dann gelten x < 200, allerdings widerspricht das den Voraussetzungen, da es maximal 100 Tiere sein sollen. Also, x <100.

Jeder Hase kostet 3 Taler. Also muss gelten: y <34.

Jedes Schaf kostet 10 Taler, also z < 10.

Insgesamt muss für die Anzahl der Tiere gelten: x + y + z = 100, also wäre y = 100 – x – z. Und zusätzlich für die Kosten: 0,5x + 3y + 10z = 100

Setzen wir die erste Gleichung in die zweite ein (Wir eliminieren die Variable y), erhalten wir (nach einigen Rechenschritten): 5x – 14z = 400 (1)

Dies ist eine Diophantische Gleichung, die wir mit Hilfe des euklidischen Algorithmus lösen können. 14 und 5 sind teilerfremd, das heißt ggT(14, 5) = 1, also lösen wir 5x – 14z = 1 und erhalten als spezielle Lösung dafür x = 3 und z = 1. Das bedeutet für eine spezielle Lösung von (1): x = 1200 und z = 400.

Diese Zahlen sind allerdings viel zu groß und widersprechen unseren Voraussetzungen, die wir an die Aufgabe gestellt haben. Eine diophantische Gleichung hat allerdings immer mehrere Lösungen, weshalb für die allgemeine Lösung gilt: x = 1200 + 14g, mit g ist eine negative (ganze!) Zahl, und z = 400 + 5h, h negative (ganze!) Zahl.

Da gelten muss 0 < x < 100, kann g nur aus dem Intervall [-85, -79] sein. Daraus ergeben sich folgende mögliche Werte für x: 10, 24, 38, 52, 66, 80, 94. Alle weiteren Zahlen kommen nicht in Frage, da diese > 100 sind und somit größer als die Gesamtzahl der zu kaufenden Tiere ist.

Weiterhin folgt aus (1), dass 5x – 400 = 14z. Diese Zahl muss allerdings positiv sein, was bedeutet, dass gelten muss: 5x – 400 > 0, also muss x > 80 sein. Damit kommt für die Zahl  der Küken nur x = 94 in Frage. Daraus ergeben sich für die Schafe z = 5 und für die Hasen y = 1.

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Über Caro

Durchgeknallte Mathe-Studentin, deren Lieblingstiere flauschige Schafe sind und die ohne Bücher, Musik und TV-Serien nicht leben kann.
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